Question

【题目】2017高考特别强调了要增加对数学文化的考查，为此某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷（文、理科试卷满分均为100分），并对整个高三年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩，按照成绩为 ， ，…， 分成了5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）.

（1）求频率分布直方图中的 的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）若高三年级共有2000名学生，试估计高三学生中这次测试成绩不低于70分的人数；
（3）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的三组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求后两组中至少有1人被抽到的概率.

Answer 1

【答案】
（1）解：由频率分布直方图可得第4组的频率为 ，

故 .

故可估计所抽取的50名学生成绩的平均数为

（分）.

由于前两组的频率之和为 ，前三组的频率之和为 ，故中位数在第3组中.

设中位数为 分，

则有 ，所以 ，

即所求的中位数为 分

（2）解：由（1）可知，50名学生中成绩不低于70分的频率为 ，

由以上样本的频率，可以估计高三年级2000名学生中成绩不低于70分的人数为

（3）解：由（1）可知，后三组中的人数分别为15,10,5，故这三组中所抽取的人数分别为3,2,1.记成绩在 这组的3名学生分别为 ， ， ，成绩在 这组的2名学生分别为 ， ，成绩在 这组的1名学生为 ，则从中任抽取3人的所有可能结果为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共20种.

其中后两组中没有人被抽到的可能结果为 ，只有1种，

故后两组中至少有1人被抽到的概率为 .

【解析】(1)由频率的直方图求出第4组的频率从而得到x的值，进而可估计所抽取的50名学生成绩的平均数和中位数。(2)先求出50名学生中成绩不低于70分的频率为0.6，由此可以估计高三年级2000名学生中成绩不低于70分的人数。(3)由列举法一一列出各个成绩段的满足题意的人数，由概率的定义得到两组中至少有1人被抽到的概率的值。
【考点精析】关于本题考查的频率分布直方图和概率的意义，需要了解频率分布表和频率分布直方图，是对相同数据的两种不同表达方式.用紧凑的表格改变数据的排列方式和构成形式，可展示数据的分布情况.通过作图既可以从数据中提取信息，又可以利用图形传递信息；任何事件的概率是0~1之间的一个确定的数，它度量该事情发生的可能性．小概率事件很少发生，而大概率事件则经常发生．知道随机事件的概率有利于我们作出正确的决策才能得出正确答案．