Question

在数列中，，且.

(Ⅰ) 求，猜想的表达式，并加以证明；

(Ⅱ) 设，求证：对任意的自然数，都有；

 

Answer 1

【答案】

（1），， 利用数学归纳法加以证明；（2）---（9分）

所以所以只需要证明

（显然成立）

【解析】

试题分析：（1）容易求得：，----------------------（2分）

故可以猜想， 下面利用数学归纳法加以证明：

显然当时，结论成立，-----------------（3分）

假设当；时（也可以），结论也成立，即

，--------------------------（4分）

那么当时，由题设与归纳假设可知：

   （6分）

即当时，结论也成立，综上，对,成立。 （7分）

（2）---（9分）

所以

------（11分）

所以只需要证明

（显然成立）

所以对任意的自然数，都有    （14分）

考点：本题考查了数学归纳法的运用

点评：(1)用数学归纳法证明问题时首先要验证时成立,注意不一定为1;

(2)在第二步中,关键是要正确合理地运用归纳假设,尤其要弄清由k到k+1时命题的变化