Question

10、已知如图：E、F、G、H分别是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱BC、CC₁、C₁D₁、AA₁的中点．
（1）求证：EG∥平面BB₁D₁D；
（2）求证：平面BDF∥平面B₁D₁H．

Answer 1

分析：（1）取B₁D₁的中点O，易证四边形BEGO为平行四边形，故有OB∥GE，从而证明EG∥平面BB₁D₁D．
（2）由正方体得BD∥B₁D₁，由四边形HBFD₁是平行四边形，可得 HD₁∥BF，可证 平面BDF∥平面B₁D₁H．

解答：证明：（1）取B₁D₁的中点O，连接GO，OB，易证四边形BEGO为平行四边形，
故OB∥GE，而OB?平面BB₁D₁D，GE 不在平面BB₁D₁D内，
由线面平行的判定定理即可证 EG∥平面BB₁D₁D．
（2）由正方体得BD∥B₁D₁．如图，连接HB、D₁F，
易证四边形HBFD₁是平行四边形，故HD₁∥BF． 又B₁D₁∩HD₁=D₁，BD∩BF=B，
所以，平面BDF∥平面B₁D₁H．

点评：本题考查证面面平行、线面平行的方法，直线与平面平行的判定、性质的应用，取B₁D₁的中点O，是解题的突破口．