Question

给出以下五个命题：其中正确命题的序号是

①②③⑤

．
①命题“对任意x∈Rx²+x+1＞0”的否定是“存在x∈Rx²+x+1≤0”
②函数f(x)=(

1

2

)x-x

1

3

在区间（0、1）上存在零点
③“a=1”是“函数y=cos2ax的最小正周期为π”的充分不必要条件
④直线x-2y+5=0与圆x²+y²=8交于A、B两点，则|AB|=2

2

⑤若直线2ax-bx+8=0（a＞0，b＞0）平分圆x²+y²+4x-8y+1=0周长则

8

a

+

2

b

最小值为9．

Answer 1

分析：根据全称、特称命题的否定方法，可判断①的真假；根据零点存在定理可得②的真假；对于③，利用最小正周期为π，求出a，即可判断选项；对于④，先求出圆心到直线的距离d，再利用弦长公式求得弦长|AB|；⑤由题意可知圆x²+y²+4x-8y+1=0的圆心（-2，4）在直线2ax-bx+8=0上，可得a+b=2，而

8

a

+

2

b

=

1

2

（

8

a

+

2

b

）（a+b），展开利用基本不等式可求最小值．

解答：解：①对，因为命题“?x∈R，x²+x+1＞0”的否定是：“?x∈R，x²+x+1≤0”．
②中f（0）=1＞0，f（1）=

1

2

-1＜0，根据零点存在定理，
得函数f(x)=(

1

2

)x-x

1

3

在区间（0、1）上存在零点．可知②正确；
③：函数y=cos2ax，它的周期是

2π

|2a|

=π，a=±1，
显然“a=1”可得“函数y=cos2ax的最小正周期为π”，后者推不出前者，
∴“a=1”是“函数y=cos2ax的最小正周期为π”的充分不必要条件，正确；
④：圆x²+y²=8的圆心为（0，0），半径等于2

2

，圆心不在直线x-2y+5=0上，
由圆的性质可知，|AB|＜2

2

，故④不对；
⑤：由圆的性质可知，直线2ax-bx+8=0即是圆的直径所在的直线方程，
∵圆x²+y²+4x-8y+1=0的圆心（-2，4）在直线2ax-bx+8=0上
∴-4a-4b+8=0即a+b=2，
∵

8

a

+

2

b

=

1

2

（

8

a

+

2

b

）（a+b）=

1

2

（10+

8b

a

+

2a

b

）≥

1

2

（10+8）=9，
当且仅当

8b

a

=

2a

b

取等号，
∴

8

a

+

2

b

的最小值9，正确．
故答案为：①②③⑤．

点评：本题考查的知识点是命题的真假判断，熟练掌握相关的基本概念是关键．