Question

)设为奇函数，为常数．

(1)求的值；

(2)判断在区间（1，＋∞）内的单调性，并证明你的判断正确；

(3)若对于区间 [3,4]上的每一个的值，不等式>恒成立，求实数的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）在（1，+∞）上是增函数（3）

【解析】

试题分析：解：（1）∵为奇函数，

∴对于定义域中任意实数恒成立，

即    2分

∴ ∴ ∴

∴对于定义域中任意实数恒成立

∵不恒为0，∴ ∴   4分

当时不符题意

∴   5分

（2）由（1）得

设1＜x₁＜x₂，则

f（x₁）－f（x₂）＝log－log＝log

＝log  7分

∵  1＜x₁＜x₂，∴  x₂－x₁＞0，

∴ （x₁x₂－1）＋（x₂－x₁）＞（x₁x₂－1）－（x₂－x₁）>0

即>1．   9分

∴ f（x₁）－f（x₂）<0即f（x₁）＜f（x₂），在（1，+∞）上是增函数  10分

（3）由(1),不等式>可化为，即

由题意得对于区间[3,4]上的每一个的值，恒成立  2分

令，则区间[3,4]上为增函数

∵   ∴  15分

考点：函数性质的综合运用

点评：解决的关键是对于函数奇偶性和单调性的灵活运用，以及利用分离参数的思想求解函数的最值得到范围。属于中档题。