Question

8．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且过点A（2，2$\sqrt{2}$）．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过抛物线的焦点F和点A的直线l交抛物线于A，B两点，求线段AB的长．

Answer 1

分析 （1）由题意设抛物线方程为y²=2px，把点A（2，2$\sqrt{2}$）的坐标代入求p，则抛物线方程可求；
（2）写出直线l的方程，和抛物线方程联立，利用根与系数的关系及抛物线过焦点的弦长公式求解．

解答 解：（1）依题意可设抛物线的标准方程为y²=2px，
将点A（2，2$\sqrt{2}$）代入y²=2px，得p=2，
∴抛物线的标准方程为y²=4x；
（2）由已知得直线l的方程为$y=2\sqrt{2}（x-1）$，代入抛物线的标准方程，
得2x²-5x+2=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则有${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{5}{2}$，
又∵抛物线过焦点的弦长为|AB|=x₁+x₂+p，
∴|AB|=$\frac{9}{2}$．

点评 本题主要考查了抛物线的简单性质，考查抛物线过焦点的弦长公式，是基础题．