Question

9．已知抛物线y=ax²（a≠0）的准线方程为y=-1，焦点坐标为F（0，1）．
（1）求抛物线的方程；
（2）设F是抛物线的焦点，直线l；y=kx+b（k≠0）与抛物线相交于A，B两点，记AF，BF的斜率之和为m，求常数m，使得对于任意的实数k（k≠0），直线l恒过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

分析 （1）将y=ax²，化为标准方程为x²=$\frac{y}{a}$，利用抛物线y=ax²（a≠0）的准线方程，即可求得抛物线C的方程；
（2）直线方程与抛物线方程联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，得x²-4kx-4b=0．利用韦达定理及直线AF，BF的斜率之和为m，可得直线l：y=kx+$\frac{k}{m-k}$，进而令xk²-（mx+y+1）k+my=0对任意的k（k≠0）恒成立，即可求得直线l过定点．

解答 解：（1）将y=ax²，化为标准方程为x²=$\frac{y}{a}$，
∴抛物线C的准线方程为：y=-$\frac{1}{4a}$．  
∵抛物线y=ax²（a≠0）的准线方程为y=-1，
∴-$\frac{1}{4a}$=-1，解得a=$\frac{1}{4}$．
∴抛物线C的方程是x²=4y．                                    
（2）F（0，1），设A（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），B（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，得x²-4kx-4b=0．
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4b，△=16k²+16b＞0．    
k_AF+k_BF=$\frac{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}-1}{{x}_{1}}$+$\frac{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}-1}{{x}_{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}{x}_{2}-4）}{4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{4k（-4b-4）}{4（-4b）}$．                               …
∴b=$\frac{k}{m-k}$．
∴直线l：y=kx+$\frac{k}{m-k}$．
令xk²-（mx+y+1）k+my=0对任意的k（k≠0）恒成立．             
则$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{mx+y+1=0}\\{my=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-1}\\{m=0}\end{array}\right.$．
所以m=0，直线l过定点（0，-1）．

点评 本题考查抛物线的标准方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查直线恒过定点，解题的关键是求出直线方程，利用方程对任意的k（k≠0）恒成立，建立方程组．