Question

已知抛物线x²=2y上有两个点A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）且x₁x₂=-2m（m为定值且m＞0）．
（1）求证：线段AB与轴的交点为定点（0，m）；
（2） （理科）过A，B两点做抛物线的切线，求

PA

与

PB

夹角的取值范围；
（文科）过A，B两点做抛物线的切线，求两切线夹角的取值范围．

Answer 1

分析：（1）线段AB与轴交点设为M（0，y₀），A(x1，

x12

2

)，B(x2，

x22

2

)，

x1

-x2

=

x12 2 -y0

y0- x22 2

m（x₂-x₁）=y₀（x₂-x₁），m=y₀．
由此知线段AB与轴的交点为定点（0，m）．
（2）（理）设过A，B两点做抛物线的切线的交点为P，则两切线的夹角为∠APB．由x²=2y可得y=

x2

2

．由此借助导数可求出

PA

与

PB

夹角的取值范围．
（文）设过A，B两点做抛物线的切线的交点为P，则两切线的夹角为∠APB．由x²=2y可得y=

x2

2

，则y′=x过A，B两点做抛物线的切线的斜率分别为K_AP=x₁，K_AP=x₂，由此可求出两切线夹角的取值范围．

解答：解：（1）∵x₁x₂=-2m＜0∴线段AB与轴必有交点，且设为M（0，y₀）．
设A(x1，

x12

2

)，B(x2，

x22

2

)，
∴

x1

-x2

=

x12 2 -y0

y0- x22 2

∴

1

2

x1x22-x1y0=

1

2

x2x12-x2y0
∵x₁x₂=-2m∴-mx₂-x₁y₀=-mx₁-x₂y₀
∴m（x₂-x₁）=y₀（x₂-x₁）∵x₂≠x₁∴m=y₀．
即线段AB与轴的交点为定点（0，m）．
（2）（理）设过A，B两点做抛物线的切线的交点为P，则两切线的夹角为∠APB．
由x²=2y可得y=

x2

2

，则y′=x，
∴过A，B两点做抛物线的切线的斜率分别为K_AP=x₁，K_AP=x₂，
若m=

1

2

，则tan∠APB=

π

2

．
若m≠

1

2

，∴tan∠APB=

x1-x2

1+x1x2

=

x1-x2

1-2m

，
∵x₁x₂=-2m∴x1-x2=-(x2-x1)≤-2

-x1x2

=-2

-2m

，
当m＞

1

2

时，tan∠APB≥

-2 -2m

1-2m

＞0∴arctan

2 -2m

2m-1

≤∠APB＜

π

2

．
当m＜

1

2

时，tan∠APB≤

-2 -2m

1-2m

＜0∴π-arctan

2 -2m

1-2m

≤∠APB＜π．
综上所述，m=

1

2

，则tan∠APB=

π

2

m＞

1

2

时，arctan

2 -2m

2m-1

≤∠APB＜

π

2

.m＜

1

2

时，π-arctan

2 -2m

1-2m

≤∠APB＜π．
（文）设过A，B两点做抛物线的切线的交点为P，则两切线的夹角为∠APB．
由x²=2y可得y=

x2

2

，则y′=x，
∴过A，B两点做抛物线的切线的斜率分别为K_AP=x₁，K_AP=x₂，
若m=

1

2

，则tan∠APB=

π

2

．
若m≠

1

2

，∴tan∠APB=|

x1-x2

1+x1x2

|=|

x1-x2

1-2m

|
∵x₁x₂=-2m∴|x1-x2|≥2

-x1x2

=2

-2m

．
∴tan∠APB≥

2 -2m

|1-2m|

，arctan

2 -2m

|1-2m|

≤∠APB＜

π

2

．
∴两切线夹角的取值范围为[arctan

2 -2m

|1-2m|

，

π

2

]．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的综合应用，解题时要注意讨论思想的应用．解答的关键是列方程和分类讨论．属难题．