Question

已知一四棱锥P-ABCD的三视图，E是侧棱PC上的动点．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）若E点分PC为PE：EC=2：1，求点P到平面BDE的距离；
（3）若E点为PC的中点，求二面角D-AE-B的大小．

Answer 1

分析：（1）依据三视图的数据，以及位置关系，直接求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）利用等体积法，即V_B-DEP=V_P-BDE，求出三棱锥B-DEP的体积和△BDE的面积，即可求得结果；
（3）点E为PC的中点，在平面DAE内过点D作DF⊥AE于F，连接BF，说明∠DFB为二面角D-AE-B的平面角，解三角形DFB，求二面角D-AE-B的大小．

解答：解：（1）由三视图可知，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，
即四棱锥P-ABCD的体积为

2

3

．
侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2．
∴VP-ABCD=

1

3

S正方形ABCD•PC=

1

3

×12×2=

2

3

，
（2）设点P到平面BDE的距离为h，
则V_B-DEP=V_P-BDE，而V_B-DEP=

1

3

×S△DPE×BC=

1

3

×

1

2

×1×

4

3

×1=

2

9

，
S△BDE=

1

2

×

( 2 2 )2+( 2 3 )2

×

2

=

17

3

，
∴h=

2 17

17

；
（3）：在平面DAE内过点D作DF⊥AE于F，连接BF．
∵AD=AB=1，DE=BE=

12+12

=

2

，AE=AE=

3

，
∴Rt△ADE≌Rt△ABE，
从而△ADF≌△ABF，∴BF⊥AE．
∴∠DFB为二面角D-AE-B的平面角．
在Rt△ADE中，DF=

AD•DE

AE

=

1× 2

3

=BF，
又 BD=

2

，在△DFB中，由余弦定理得
cos∠DFB=

DF2+BF2-BD2

2DF•BF

=

2× 2 3 -2

2× 2 3

=-

1

2

，
∴∠DGB=120°，即二面角D-AE-B的大小为120°．

点评：本题考查由三视图求面积、体积，二面角及其度量，考查知识的灵活运用能力，计算能力，转化思想，是中档题．