Question

已知数列（a_n}为S_n且有a₁=2，3S_n=5a_n-a_n-1+3S_n-1 （n≥2）
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=（2n-1）a_n，求数列{b_n}前n和T_n
（Ⅲ）若c_n=tⁿ[lg（2t）ⁿ+lga_n+2]（0＜t＜1），且数列{c_n}中的每一项总小于它后面的项，求实数t取值范围．

Answer 1

分析：（I）先根据a_n=S_n-S_n-1得

an

an-1

=

1

2

，判断出数列为等比数列，根据等比数列通项公式求解；
（II）根据数列的特点可知直接利用错位相减法求数列的和T_n；
（III）将不等式转化成恒成立问题，用参变量分离求解得到结果．

解答：解：（Ⅰ）3S_n-3S_n-1=5a_n-a_n-1，∴2a_n=a_n-1，

an

an-1

=

1

2

∵a₁=2，∴an=2(

1

2

)n-1=22-n（n∈N^*）
（Ⅱ）b_n=（2n-1）2^2-n，

Tn=1× 2+3×20+5×2-1+…+(2n-1)×22-n 1 2 Tn=     1×20+3×2-1+…+(2n-3)×22-n+(2n-1)×21-n

1

2

Tn=2+2×(20+2-1+…+22-n) -(2n-1)×21-n=2+

2[1-(2-1)n-1]

1-2-1

-(2n-1)×21-n
∴T_n=12-（2n+3）×2^2-n（n∈N^*）
（Ⅲ）c_n=tⁿ（nlg2+nlgt+lg2^-n）=ntⁿlgt，∵c_n＜c_n+1，∴ntⁿlgt＜（n+1）tⁿ⁺¹lgt
∵0＜t＜1，∴nlgt＜t（n+1）lgt
∵lgt＜0，∴n＞t（n+1）?t＜

n

n+1

，
∵n∈N^*，

n

n+1

=

1

1+ 1 n

≥

1

2

，∴0＜t＜

1

2

点评：本题考查了数列的综合应用，涉及了数列通项公式的求解，数列的错位相减饭求和，以及数列与恒成立的综合应用问题．对于数列高考要求教高，要求学生能灵活的应用数列的相关性质，能够解决数列与函数，数列与不等式等综合问题．属中档题．