Question

已知n条直线l₁：x-y+C₁=0，C₁=，l₂：x-y+C₂=0，l₃：x-y+C₃=0，…，l_n：x-y+C_n=0（其中C₁＜C₂＜C₃＜…＜C_n），这n条平行直线中，每相邻两条直线之间的距离顺次为2、3、4、…、n．
（1）求C_n；
（2）求x-y+C_n=0与x轴、y轴围成的图形的面积；
（3）求x-y+C_n-1=0与x-y+C_n=0及x轴、y轴围成图形的面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）易知直线在y轴上的截距是原点到直线的距离倍，所以先求原点到直线的距离即可；
（2）在x轴和y轴上的截距互为相反数，由三角形面积公式结合（1）求得；
（3）由（2）分别求得两条直线与x轴和y轴围成的面积作差求解．
解答：解：（1）原点O到l₁的距离为1，原点O到l₂的距离为1+2，原点O到l_n的距离d_n为1+2++n=．
∵C_n=d_n，
∴C_n=．
（2）设直线l_n：x-y+C_n=0交x轴于M，交y轴于N，则△OMN面积
S_△OMN=|OM|•|ON|=C_n²=．
（3）所围成的图形是等腰梯形，由（2）知S_n=，则有S_n-1=．
∴S_n-S_n-1=-=n³．
∴所求面积为n³．
点评：本题主要通过直线的斜率和截距，来考查直线围成平面图形问题的解法．