Question

8．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC、DC上，BC=3BE，DC=-λDF．若$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$=1，则λ的值为-2．

Answer 1

分析 根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论．

解答 解：∵BC=3BE，DC=-λDF，
∴$\overrightarrow{BE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{DF}$=-$\frac{1}{λ}$$\overrightarrow{DC}$，
∴$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DF}$=$\overrightarrow{AD}$-$\frac{1}{λ}$$\overrightarrow{DC}$
∴$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$=（$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$）•（$\overrightarrow{AD}$-$\frac{1}{λ}$$\overrightarrow{DC}$）=$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$-$\frac{1}{λ}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{DC}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{AD}$-$\frac{1}{3λ}$$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{DC}$，
=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AD}$|•cos120°-$\frac{1}{λ}$|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{DC}$|•cos0°+$\frac{1}{3}$|$\overrightarrow{BC}$|•|$\overrightarrow{AD}$|•cos0°-$\frac{1}{3λ}$|$\overrightarrow{BC}$|•|$\overrightarrow{DC}$|•cos120°
=2×2×（-$\frac{1}{2}$）-$\frac{1}{λ}$×2×2+$\frac{1}{3}$×2×2-$\frac{1}{3λ}$×2×2×（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{10}{3λ}$-$\frac{2}{3}$=1，
解得λ=-2，
故答案为：-2．

点评 本题主要考查向量的基本定理的应用，以及数量积的计算，要求熟练掌握相应的计算公式．