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已知函数 $数学公式$ 在[0，+∞）上单调递增，数列{a_n}满足 $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ （n∈N^）．
（Ⅰ）求实数a的取值范围以及a取得最小值时f（x）的最小值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）求证： $数学公式$ （n∈N^）．

（Ⅰ）解：由题意，f′（x）= $\text{[math]}$ ≥0在[0，+∞）上恒成立
∴a≥ $\text{[math]}$ 在[0，+∞）上恒成立
∵x∈[0，+∞），∴ $\text{[math]}$ ∈（0，1]
∴a≥1
当a=1时，f（x）_min=f（0）=0；
（Ⅱ）解：∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴{ $\text{[math]}$ }是常数数列
∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴{a_n-1}是首项为- $\text{[math]}$ ，公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列
∴a_n-1=（- $\text{[math]}$ ）• $\text{[math]}$
∴a_n=1- $\text{[math]}$ ；
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知 $\text{[math]}$ 对x∈[0，+∞）恒成立
令x= $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ＜ln（ $\text{[math]}$ +1）=ln（3ⁿ⁺¹-2）-ln（3ⁿ-2）
∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ＜[ln（3²-2）-ln（3¹-2）]+[ln（3³-2）-ln（3²-2）]+…+ln（3ⁿ⁺¹-2）-ln（3ⁿ-2）=ln（3ⁿ⁺¹-2）
∴ $\text{[math]}$
分析：（Ⅰ）由题意，f′（x）= $\text{[math]}$ ≥0在[0，+∞）上恒成立，分离参数，可得a≥ $\text{[math]}$ 在[0，+∞）上恒成立，求出最值，即可得到结论；
（Ⅱ）先证明{ $\text{[math]}$ }是常数数列，再证明{a_n-1}是首项为- $\text{[math]}$ ，公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列，即可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知 $\text{[math]}$ 对x∈[0，+∞）恒成立，令x= $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ ＜ln（3ⁿ⁺¹-2）-ln（3ⁿ-2），叠加即可证得结论．
点评：本题考查导数知识的运用，考查数列的通项与不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

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