Question

已知f（x）=2

3

sinx+

sin2x

sinx

．
（I）求f（x）的周期，并求x∈（0，π）时的单调增区间；
（II）在△ABC中，a、b、分别是角A，B，C所对的边，若A=

π

3

，且a=

3

，求

AB

•

AC

的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将函数解析式第二项分子利用二倍角的正弦函数公式化简，约分后两项提取4，利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出函数的周期，根据正弦函数的增区间列出关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，找出与已知x的范围的公共部分，即可得到f（x）的单调增区间；
（II）由A的度数求出sinA及cosA的值，再由a的值，利用正弦定理表示出c与b，然后利用平面向量的数量积运算法则化简所求的式子，将表示出的c与b代入，并将sinA，cosA及a的值代入，整理后根据A的度数，求出B+C的度数，用B表示出C，代入化简后的式子中，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，再利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，最后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域，即可得到所求式子的最大值．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=2

3

sinx+2cosx=4sin（x+

π

6

），…（2分）
∵ω=1，∴T=2π，
令2kπ-

π

2

≤x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），解得：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

（k∈Z），
当k=0时，-

π

3

≤x≤

π

6

；当k=1时，

2π

3

≤x≤

7π

6

，
∵x∈（0，π），
则f（x）的单调增区间为（0，

π

6

]∪[

2π

3

，π）；…（6分）
（Ⅱ）∵A=

π

3

，a=

3

，
∴由正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

得：c=

asinC

sinA

，同理可得b=

asinB

sinA

，
∵sinA=

3

2

，cosA=

1

2

，a=

3

，C=

2π

3

-B，
∴

AB

•

AC

=cbcosA=

a2sinBsinC

sin2A

•cosA=2sinBsin（

2π

3

-B）
=

3

sinBcosB+sin²B=

3

2

sin2B+

1

2

（1-cos2B）=

1

2

+sin（2B-

π

6

），
∴当2B-

π

6

=

π

2

，即B=

π

3

时，

AB

•

AC

最大值为

3

2

．…（14分）

点评：此题考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的单调性，正弦函数的定义域与值域，平面向量的数量积运算法则，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．