Question

选修4-1:几何证明选讲
如图，AB是圆O的直径，以B为圆心的圆B与圆O的一个交点为P.过点A作直线交圆O于点Q,交圆B于点M、N.
(I )求证：QM=QN;
(II)设圆O的半径为2,圆B的半径为1,当AM=时，求MN的长.

Answer 1

（Ⅰ）连结BM、BN、BQ、BP．
∵B为小圆的圆心，∴BM＝BN，
又∵AB为大圆的直径，∴BQ⊥MN，
∴QM＝QN．                 …4分
（Ⅱ）∵AB为大圆的直径，∴∠APB＝90°，
∴AP为圆B的切线，
∴AP²＝AM·AN，            …6分
由已知AB＝4，PB＝1，AP²＝AB²－PB²＝15，
又AM＝，∴15＝×(＋MN)，
∴MN＝

略