Question

（2012•上海）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C₁：2x²-y²=1．
（1）过C₁的左顶点引C₁的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x轴围成的三角形的面积；
（2）设斜率为1的直线l交C₁于P、Q两点，若l与圆x²+y²=1相切，求证：OP⊥OQ；
（3）设椭圆C₂：4x²+y²=1，若M、N分别是C₁、C₂上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．

Answer 1

分析：（1）求出双曲线的渐近线方程，求出直线与另一条渐进线的交点，然后求出三角形的面积．
（2）设直线PQ的方程为y=kx+b，通过直线PQ与已知圆相切，得到b²=2，通过求解

OP

•

OQ

=0．证明PO⊥OQ．
（3）当直线ON垂直x轴时，直接求出O到直线MN的距离为

3

3

．当直线ON不垂直x轴时，设直线ON的方程为：y=kx，（显然|k|＞

2

2

），推出直线OM的方程为y=-

1

k

x，利用

y=kx 4x2+y2=1

，求出|ON|2=

1+k2

4+k2

，|OM|2=

1+k2

2k2-1

，设O到直线MN的距离为d，通过（|OM|²+|ON|²）d²=|OM|²|ON|²，求出d=

3

3

．推出O到直线MN的距离是定值．

解答：解：（1）双曲线C₁：

x2

1 2

-

y2

1

=1左顶点A（-

2

2

，0），
渐近线方程为：y=±

2

x．
过A与渐近线y=

2

x平行的直线方程为y=

2

（x+

2

2

），即y=

2

x+1，
所以

y=- 2 x y= 2 x+1

，解得

x=- 2 4 y= 1 2

．
所以所求三角形的面积为S=

1

2

|OA||y|=

2

8

．
（2）设直线PQ的方程为y=kx+b，
因直线PQ与已知圆相切，故

|b|

2

=1，
即b²=2，由

y=kx+b 2x 2-y 2=1

，
得x²-2bx-b²-1=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则

x1+x2=2b x1x2=-1-b2

，
又y₁y₂=（x₁+b）（x₂+b）．
所以

OP

•

OQ

=x₁x₂+y₁y₂=2x₁x₂+b（x₁+x₂）+b²
=2（-1-b²）+2b²+b²
=b²-2=0．
故PO⊥OQ．
（3）当直线ON垂直x轴时，|ON|=1，|OM|=

2

2

，则O到直线MN的距离为

3

3

．
当直线ON不垂直x轴时，设直线ON的方程为：y=kx，（显然|k|＞

2

2

），
则直线OM的方程为y=-

1

k

x，由

y=kx 4x2+y2

=1得

x2= 1 4+k2 y2= k2 4+k2

，
所以|ON|2=

1+k2

4+k2

．
同理|OM|2=

1+k2

2k2-1

，
设O到直线MN的距离为d，
因为（|OM|²+|ON|²）d²=|OM|²|ON|²，
所以

1

d2

=

1

|OM|2

+

1

|ON|2

=

3+3k2

k2+1

=3，
即d=

3

3

．
综上，O到直线MN的距离是定值．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，圆锥曲线的综合，向量的数量积的应用，设而不求的解题方法，点到直线的距离的应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力．