Question

如图所示，点A（1，0）．点R在y轴上运动，T在x轴上，N为动点，且

RT

•

RA

=0，

RN

+

RT

=0，
（1）设动点N的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；
（2）过点B（-2，0）的直线l与曲线C交于点P、Q，若在曲线C上存在点M，使得△MPQ为以PQ为斜边的直角三角形，求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设N（x，y），由题得R是TN的中点所以T(-x，0)，R(0，

y

2

)，代入

RT

•

RA

=0?(-X，-

y

2

)•(1，-

y

2

)=0得点N的轨迹曲线C的方程y²=4x
（2）直线l与曲线C交于点P、Q所以直线l的斜率不等于0，设其为x=my-2，代入曲线C的方程y²=4x，△=16m²-32＞0，即m²＞2，因为△MOQ是以PQ为斜边的直角三角形，所以MP⊥MQ∴

MP

•

MQ

=0，即(x1-

t2

4

)(x2-

t2

4

)+(y1-t)(y2-t)=0，化简可得8+4mt+t²+16=0关于t的方程t²+4mt+24=0有实根，∴△=16m²-96≥0，又k=

1

m

所以-

6

6

≤k＜0或0＜k≤

6

6

．

解答：解：（1）设N（x，y），由

RN

+

RT

=0知：R是TN的中点，
则T(-x，0)，R(0，

y

2

)，

RT

•

RA

=0?(-X，-

y

2

)•(1，-

y

2

)=0
则y²=4x就是点N的轨迹曲线C的方程：
（2）设直线l的方程为x=my-2，代入曲线C的方程y²=4x，
得y²-4my+8=0，此方程有两个不等实根，△=16m²-32＞0，即m²＞2
M在曲线C上，P、Q是直线l与曲线C的交点，设M(

t2

4

，t)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则y₁+y₂=4m，y₁y=8，∵△MOQ是以PQ为斜边的直角三角形，
∴MP⊥MQ∴

MP

•

MQ

=0，即(x1-

t2

4

)(x2-

t2

4

)+(y1-t)(y2-t)=0
且x1=

y12

4

，x2=

y22

4

，
∴

1

16

(y12-t2)(y22-t2)+(y1-t)=0，
显然y₁-t≠0，y₂-t≠0，
∴(y1+t)(y2+t)+16=0，y1•y2+(y1+y2)t+t2+16=0，∴8+4mt+t2+16=0t为点M的坐标，
∴关于t的方程t²+4mt+24=0有实根，∴△=16m²-96≥0．
∴m²≥6，直线l的斜率k=

1

m

，∴k≠0且k2≤

1

6

，∴-

6

6

≤k＜0或0＜k≤

6

6

点评：本题考查了利用相关点代入法求曲线的方程重点考查三角形的形状的构成问题．解决此类问题的关键是结合曲线的形状和性质灵活表达垂直关系．