Question

6．求证：$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+3}$+…+$\frac{1}{3n+1}$＜$\frac{9}{8}$．

Answer 1

分析 类似于数学归纳法，当n=2时显然成立，假设n=k（k≥3，k∈N^*）时命题成立，通过当n=k+1时放缩即得结论．

解答 证明：①当n=2时，显然成立；
②假设n=k（k≥3，k∈N^*）时命题成立，即$\frac{1}{k+1}$+$\frac{1}{k+2}$+…+$\frac{1}{3k+1}$＜$\frac{9}{8}$成立，
则当n=k+1时，
左边=$\frac{1}{（k+1）+1}$+$\frac{1}{（k+1）+2}$+…+$\frac{1}{3k+1}$+$\frac{1}{3k+2}$+$\frac{1}{3k+3}$+$\frac{1}{3（k+1）+1}$
=$\frac{1}{k+1}$+$\frac{1}{k+2}$+…+$\frac{1}{3k+1}$+[$\frac{1}{3k+2}$+$\frac{1}{3k+3}$+$\frac{1}{3（k+1）+1}$-$\frac{1}{k+1}$]
＜$\frac{9}{8}$+[$\frac{1}{3k+2}$+$\frac{1}{3k+3}$+$\frac{1}{3（k+1）+1}$-$\frac{1}{k+1}$]
＜$\frac{9}{8}$+$\frac{-6k+2}{（3k+2）（3k+3）（3k+4）}$
＜$\frac{9}{8}$，
即当n=k+1时，命题也成立；
由①②可知：$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+3}$+…+$\frac{1}{3n+1}$＜$\frac{9}{8}$．

点评 本题考查不等式的证明，利用放缩法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．