Question

2．已知tan（α-β）=$\frac{1}{2}$，tanβ=-$\frac{1}{3}$，且α，β∈（0，π），求α-2β的值．

Answer 1

分析 tan（α-β）=$\frac{1}{2}$，tanβ=-$\frac{1}{3}$，且α，β∈（0，π），可得tan（α-2β）=$\frac{tan（α-β）-tanβ}{1+tan（α-β）tanβ}$=1．利用tanβ=-$\frac{1}{3}$，β∈（0，π），可得β∈$（\frac{3π}{4}，π）$．又α∈（0，π），可得-π＜α-β$＜\frac{π}{4}$，进而得到α-2β的范围，即可得出．

解答 解：∵tan（α-β）=$\frac{1}{2}$，tanβ=-$\frac{1}{3}$，且α，β∈（0，π），
∴tan（α-2β）=$\frac{tan（α-β）-tanβ}{1+tan（α-β）tanβ}$=$\frac{\frac{1}{2}-（-\frac{1}{3}）}{1+\frac{1}{2}×（-\frac{1}{3}）}$=1．
∵tanβ=-$\frac{1}{3}$，β∈（0，π），∴β∈$（\frac{3π}{4}，π）$．
又α∈（0，π），
∴-π＜α-β$＜\frac{π}{4}$，
∵tan（α-β）=$\frac{1}{2}$，
∴α-β∈$（-π，-\frac{3π}{4}）$∪$（0，\frac{π}{4}）$．
∴α-2β∈$（-2π，-\frac{3π}{2}）$∪$（-π，-\frac{π}{2}）$，
∴α-2β=-$\frac{7π}{4}$或$-\frac{3π}{4}$．

点评 本题考查了三角函数的单调性、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．