Question

2．已知与直线$x=-\frac{1}{4}$相切的动圆M与圆$C：{（{x-\frac{1}{2}}）^2}+{y^2}=\frac{1}{16}$外切．
（1）求圆心M的轨迹L的方程；
（2）若倾斜角为$\frac{π}{4}$且经过点（2.0）的直线l与曲线L相交于两点A、B，求证：OA⊥OB．

Answer 1

分析 （1）确定点M到点$C（{\frac{1}{2}，0}）$与直线$x=-\frac{1}{2}$的距离相等，即可求圆心M的轨迹L的方程；
（2）直线l的方程为y=x-2，联立y²=2x得x²-6x+4=0，证明$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，即可证明结论．

解答 解：（1）设动圆M的半径为r，
∵圆M与圆$C：{（{x-\frac{1}{2}}）^2}+{y^2}=\frac{1}{16}$外切，∴$|{MC}|=r+\frac{1}{4}$，…（1分）
∵圆M与直线$x=-\frac{1}{4}$相切，∴圆心M到直线$x=-\frac{1}{4}$的距离为r，…（2分）
则圆心M到直线$x=-\frac{1}{2}$的距离为$r+\frac{1}{4}$，…（3分）
∴点M到点$C（{\frac{1}{2}，0}）$与直线$x=-\frac{1}{2}$的距离相等，…（4分）
即圆心M的轨迹方程是抛物线y²=2x…（5分）
（2）直线l的方程为y=x-2，联立y²=2x得x²-6x+4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=6，x₁x₂=4…（10分）
∵$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=2x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0，
∴OA⊥OB…（12分）

点评 本题考查轨迹方程，考查抛物线定义的运用，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识，属于中档题．