Question

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=BB₁=a，AB1=B1C=

2

a，E为CD中点．
（1）求证：AB₁⊥BE；
（2）点F在线段B₁C上，当

B1F

FC

为多少时，AB₁∥平面BEF，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知中四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=BB₁=a，AB1=B1C=

2

a，E为CD中点．结合直角三角形性质及等边三角形“三线合一”的性质，得到BB₁⊥平面ABCD，BE⊥AB，BE⊥BB₁，由线面垂直的判定定理及性质，进而得到AB₁⊥BE；
（2）连接AC交BE于G，过G在平面AB₁C内作GF∥AB₁交B₁C于F，由线面平行的判定定理可得AB₁∥平面BEF，由平行线分线段成比例定理，即可求出满足条件时

B1F

FC

的值．

解答：解：（1）证明：∵AB=BB₁=a，AB1=B1C=

2

a，
∴BB₁⊥AB，BB₁⊥BC
∴BB₁⊥平面ABCD，
又∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴△BCD为等边三角形，
∴BE⊥CD，AB∥CD
∴BE⊥AB，BE⊥BB₁
∴BE⊥平面ABB₁A₁，
∴BE⊥AB 1
（2）连接AC交BE于G，过G在平面AB₁C内作GF∥AB₁交B₁C于F，
则AB₁∥平面BEF，
则

B1F

FC

=

AG

GC

=2

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，其中熟练掌握空间直线与平面的平行、垂直的判定定理、性质定理及定义是解答本题的关键．