Question

(x+

1

x

)n展开式的各项系数之和大于8且小于32，则n=

 

，展开式中的常数项是

 

．

Answer 1

分析：令二项式中的x=1求得展开式的各项系数之和列出不等式求出n的值；将n的值代入二项式，利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0求出r的值，将r的值代入通项求出展开式中的常数项．

解答：解：令二项式中的x=1得展开式的各项系数之和为2ⁿ
据题意得8＜2ⁿ＜32
解得3＜n＜5
∴n=4
∴(x+

1

x

)n=(x+

1

x

)4展开式的通项为T_r+1=C₄^rx^4-2r
令4-2r=0得r=2
∴展开式中的常数项是C₄²=6
故答案为4；6．

点评：求二项展开式的各项系数和问题一般通过观察给二项式中的x赋值求出各项系数和；求二项展开式的特定项问题一般利用的工具是二项展开式的通项公式．