Question

定义函数f_n(x)=(1+x)ⁿ-1,x＞-2,n∈N^*.

(1)求证：f_n(x)≥nx.

(2)是否存在区间［a,0］(a＜0),使函数n(x)=f_3(x)-f_2(x)在区间［a,0］上的值域为［ka,0］?若存在，求出最小的k值及相应的区间［a,0］;若不存在，说明理由.

Answer 1

解：（1）证明：f_n(x)-nx=(1+x)ⁿ-1-nx,

    令g_(x)=(1+x)ⁿ-1-nx,则g′_(x)=n［(1+x)^n-1-1］,

    当x∈(-2,0)时，g′_(x)＜0;

    当x∈(0,+∞)时,g′_x＞0.

∴g_(x)在x=0处取得极小值g₍₀₎=0,同时g_(x)是学峰函数，则g₍₀₎也是最小值，∴g_(x)≥0.

    即f_n(x)≥nx(当且仅当x=0取等号).

（2）h_(x)=f_3(x)=f_2(x)=x(1+x)²,

h′_(x)=(1+x)²+x·2(1+x)=(1+x)(1+3x),

    令h′_(x)=0,得x=-1,x=-∴当x∈(-2,-1)时，h′_(x)＞0；当x∈(-1,-)时，h′_(x)＜0;

    当x∈(-,+∞)时，h′_(x)＞0,故h_(x)的草图如图所示：

①在-≤a＜0时，h_(x)最小值h_(a)=ka.∴k=(1+a)²≥,

②在-≤a≤-时,h_(x)最小值=h(-)=-=ka,k=-,≤k≤;

③在a≤-时,h_(x)最小值=h_(a)=a(1+a)²=ka,k=(1+a)²≥,a=-取等号.

    综上k的最小值为,此时［a,0］=［-,0］.