Question

已知函数是上的奇函数，当时取得极值.

（1）求的单调区间和极大值；

（2）证明对任意不等式恒成立.

Answer 1

（1）在单调区间,上是增函数, 在单调区间上是减函数,在处取得极大值，极大值为（2）证明略

解析:

（1）由奇函数定义，有.  即     因此， 

由条件为的极值，必有 

故    ,解得        

因此 

当时，，故在单调区间上是增函数.

当时，，故在单调区间上是减函数.

当时，，故在单调区间上是增函数.

所以，在处取得极大值，极大值为

 （2）由(1)知，是减函数，且

在上的最大值为最小值为

所以，对任意恒有

[方法技巧]善于用函数思想不等式问题,如本题.