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已知函数上的奇函数,当取得极值.

(1)求的单调区间和极大值;

(2)证明对任意不等式恒成立.

(1)在单调区间,上是增函数, 在单调区间上是减函数,处取得极大值,极大值为(2)证明略


解析:

(1)由奇函数定义,有.  即     因此, 

由条件的极值,必有 

故    ,解得        

因此 

时,,故在单调区间上是增函数.

时,,故在单调区间上是减函数.

时,,故在单调区间上是增函数.

所以,处取得极大值,极大值为

 (2)由(1)知,是减函数,且

上的最大值为最小值为

所以,对任意恒有

[方法技巧]善于用函数思想不等式问题,如本题.

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