Question

如图，在空间四边形ABCD中，两条对角线AC，BD互相垂直，且长度分别为4和6，平行于这两条对角线的平面与边AB，BC，CD，DA分别相交于点E，F，G，H，记四边形EFGH的面积为y，设

BE

AB

=x，则（　　）

• A、函数y=f（x）的值域为（0，4]
• B、函数y=f（x）的最大值为8
• C、函数y=f（x）在(0，

  2

  3

  )上单调递减
• D、函数y=f（x）满足f（x）=f（1-x）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,直线与平面平行的性质

专题：函数的性质及应用,空间位置关系与距离,简易逻辑

分析：根据空间四边形的性质证明四边形EFGH为矩形，然后根据比例关系求出函数f（x）的表达式，结合一元二次函数的性质进行判断即可．

解答： 解：∵AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，
∴AC∥EF．AC∥HG，BD∥EH．BD∥FG，
则四边形EFGH为平行四边形，
∵两条对角线AC，BD互相垂直，
∴EH⊥EF，
则四边形EFGH为矩形，
∵

BE

AB

=x，
∴由

EH

BD

=

AE

AB

=

AB-BE

AB

=1-

BE

AB

=1-x，
即EH=（1-x）BD=6（1-x），
同理

EF

AC

=

BE

AB

=x，
则EF=x•AC=4x，
则四边形EFGH的面积为y=EH•EF=4x•6（1-x）=24（x-x²）=-24（x-

1

2

）²+6，
∵x∈（0，1），
∴当x=

1

2

时，函数取得最大值6，故A，B错误．
函数的对称轴为x=

1

2

，则函数在(0，

2

3

)上不是单调函数，故C错误．
∵函数的对称轴为x=

1

2

，
∴函数y=f（x）满足f（x）=f（1-x），故D正确，
故选：D

点评：本题主要考查空间四边形和函数的综合以及与一元二次函数有关的性质是考查，综合性较强，涉及的知识点较多，有一点的难度．