Question

对有n（n≥4）个元素的总体{1，2，…，n}进行抽样，先将总体分成两个子总体{1，2，…，m}和{m+1，m+2，…，n}（m是给定的正整数，且2≤m≤n-2），再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本．用P_ij表示元素i和j同时出现在样本中的概率，则P_1n=

4

m(n-m)

； 所有P_ij（1≤i＜j≤n）的和等于

6

．

Answer 1

分析：利用组合的方法求出从{1，2，…，m}中随机抽取2个元素所有的抽法有及从{m+1，m+2，…，n}中随机抽取2个元素所有的抽法；由古典概型的概率公式求出概率．

解答：解：从{1，2，…，m}中随机抽取2个元素所有的抽法有C_m²，
从{m+1，m+2，…，n}中随机抽取2个元素所有的抽法有C_n-m²，
所以从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本所有的抽法有有C_m²•C_n-m²
从{1，2，…，m}中随机抽取2个元素其中抽到1的抽法有m-1种方法，
从{m+1，m+2，…，n}中随机抽取2个元素其中抽到n的抽法有n-m-1种方法，
由古典概型的概率公式得

(m-1)(n-m-1)

C 2 m • C 2 n-m

=

4

m(n-m)

①当i，j∈{1，2，3，…m}，Pij=

C 2 m

C 2 m

=1
②当i，j∈{m+1，m+2，m+3…n}，Pij=

C 2 n-m

C 2 n-m

=1
③当i∈{1，2，3，…m}，j∈{m+1，m+2…n}，Pij=

4

m(n-m)

×m(n-m)=4
所有Pij（1≤i＜j≤n）的和等于6
故答案为：4m（n-m）；6

点评：求一个事件的概率关键是判断出事件所属的概率模型，然后选择合适的概率公式进行计算．