Question

求数列1，3x，5x²，…，（2n-1）x^n-1前n项的和．

Answer 1

分析：设数列的前n项的和为s_n，等式两边都乘以x得xs_n，用xs_n-s_n得一新数列，求出之和转化即可求出s_n．

解答：解：数列的前n项和设s_n=1+3x+5x²+…+（2n-1）x^n-1①
（1）当x=0时，s_n=1；
（2）当x=1时，s_n=1+3+5+…+（2n-1）=n²，
（3）当x≠1，x≠0时，给等式两边都乘以x得：x•s_n=x+3x²+5x³+…+（2n-3）x^n-1+（2n-1）xⁿ②
得：①-②得：（1-x）s_n=1+2x+2x²+…+2x^n-1-（2n-1）xⁿ=1-（2n-1）xⁿ+2（x+x²+x³+…+x^n-1）=1-（2n-1）xⁿ+

2x(1-xn-1)

1-x

则s_n=

1-(2n-1)xn+ 2x(1-xn-1) 1-x

1-x

．
综上当x=0时，s_n=1；当x=1时，s_n=n²；当x≠1时，s_n=

1-(2n-1)xn+ 2x(1-xn-1) 1-x

1-x

．

点评：考查学生应用数列递推式来求和的能力．以及等比数列求和的方法．