Question

如果对于任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在函数f（x）的定义域内，则 f（a），f（b），f（c）也是某个三角形的三边长，则称函数f（x）为“保三角形函数”．现有下列五个函数：
①f（x）=2x；
②f（x）=e^x；
③f（x）=x²；
④f（x）=

x

；
⑤f（x）=sinx．
则其中是“保三角形函数”的有

①④

．（写出所有正确的序号）

Answer 1

分析：欲判断函数f（x）是不是“保三角形函数”，只须任给三角形，设它的三边长a、b、c满足a+b＞c，判断f（a）、f（b）、f（c）是否满足任意两数之和大于第三个数，即任意两边之和大于第三边即可．因此假设a≤c且b≤c，在各个选项中根据定义和函数对应法则加以判断，即可得到只有①④是“保三角形函数”，而其它的都可举出反例推翻．

解答：解：任给三角形，设它的三边长分别为a，b，c，则a+b＞c，不妨假设a≤c，b≤c，
对于①，f（x）=2x，由于f（a）+f（b）=2（a+b）＞2c=f（c），所以f（x）=2x是“保三角形函数”．
对于②，f（x）=e^x，设a=b=2，c=3，a、b、c能构成三角形的三边
因为f（a）=f（b）=e²，f（c）=e³，而f（a）+f（b）=2e²＜e³=f（c）
所以f（a）、f（b）、f（c）不能构成三角形的三边，故f（x）=e^x不是“保三角形函数”．
对于③，f（x）=x²，3，3，5可作为一个三角形的三边长，但3²+3²＜5²，
不存在三角形以3²，3²，5²为三边长，故f（x）=x²不是“保三角形函数”．
对于④，f（x）=

x

，由a+b＞c，可得a+2

ab

+b＞c
两边开方得

a

+

b

＞

c

，因此函数f（x）=

x

是“保三角形函数”．
对于⑤，对于f（x）=sinx，记a=2π，b=3π，c=5π，
则f（a）=f（b）=f（c）=0，不满足f（a）+f（b）＞f（c）
所以f（x）=sinx，不是“保三角形函数”．
故答案为：①④

点评：本题给出新定义，要我们判定符合定义的函数个数．着重考查了函数的图象与性质、三角形的性质等知识，属于中档题．解题时需注意要判断f（x）为“保三角形函数”，要经过严密的论证说明f（x）满足“保三角形函数”的概念，但要判断f（x）不为“保三角形函数”，仅须要举出一个反例即可．