Question

商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数n是羊毛衫标价x的一次函数，标价越高，购买人数越少。已知标价为每件300元时，购买人数为零；标价为每件225元时，购买人数为75人；若这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的相同价格(标价)出售，
问：(1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？
(2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？

Answer 1

解：(1)设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，则n=kx+b(k＜0)，
∴，∴，
∴n=-x+300，
y=-(x-300)·(x-100)=-(x-200)²+10000，x∈(100，300]，
∴x=200时，y_max=10000，
即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元．
(2)由题意得，-(x-300)·(x-100)=10000×75%，
∴x²-400x+30000=-7500，
∴x²-400x+37500=0，
∴(x-250)(x-150)=0，
∴x₁=250，x₂=150，
所以当商场以每件150元或250元出售时，可获得最大利润的75%。