Question

函数f(x)=

1

2x-1

+

∫

a 1

1

t

dt是奇函数，则a=（　　）

• A．

  e

  2

• B．

  1

  e

• C．

  e

  2

• D．

  e

Answer 1

分析：求出定积分为lna，得函数f（x），由函数为奇函数，得f（-x）=-f（x），从而求出a的值．

解答：解：取F（t）=lnt，则F′(t)=

1

t

，从而

∫

a 1

1

t

dt=

∫

a 1

F′(t)dt=F(a)-F(1)=lna-ln1=lna
∴f(x)=

1

2x-1

+lna
∵函数f（x）为（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数
∴f（-x）=-f（x）
∴

1

2-x-1

+lna=-

1

2x-1

-lna
∴2lna=-

1

2-x-1

-

1

2x-1

=

2x

2-x•2x-2x

-

1

2x-1

=-

2x

1-2x

-

1

2x-1

=

2x

2x-1

-

1

2x-1

=1
∴lna=

1

2

∴a=e

1

2

故选D

点评：本题主要考查了奇函数的应用及定积分的求法，本题的难点是运算要求高．