口袋里装有大小相同的4个红球和8个白球，甲、乙两人依规则从袋中有放回地摸球，每次摸出一个，规则如下：①若一方摸出一个红球，则此人继续进行下一次摸球；若一方摸出一个白球，则改换为由对方进行下一次摸球；②每一个摸球彼此相互独立，并约定由甲开始进行第一次摸球，求在前三次的摸球中：
（1）乙恰好摸到一个红球的概率；
（2）甲至少摸到一个红球的概率；
（3）甲摸到红球的次数ξ的分布列及数学期望．
解：记“甲摸球一次摸出红球”为事件A“乙摸球一次摸出红球”为事件B，
则
，
且A，B相互独立．
（1）乙恰好摸到一个红球包括两种情况，甲第一次摸到一个红球，第二次没有摸到红球改为乙摸球，且摸到一个红球；
二是甲第一次摸球，摸到一个白球，乙开始摸球摸到一个红球，乙接着摸球，摸到一个白球．
∴乙恰好摸到一个红球的概率为
（2）甲至少摸到一个红球的对立事件是甲在前三次摸球中没有摸到红球
∵甲在前三次摸球中，没有摸到红球的概率为
，
根据对立事件的概率公式得到
甲至少摸到一个红球的概率为
（3）甲摸到红球的次数为ξ，根据题意知ξ的可能取值为0，1，2，3，
结合变量对应的事件写出变量的分布列，
，
，
，
．
∴ξ的分布列为
∴数学期望
．
分析：（1）乙恰好摸到一个红球包括两种情况，甲第一次摸到一个红球，第二次没有摸到红球改为乙摸球，且摸到一个红球；二是甲第一次摸球，摸到一个白球，乙开始摸球摸到一个红球，乙接着摸球，摸到一个白球．根据相互独立事件同时发生的概率写出结果．
（2）甲至少摸到一个红球的对立事件是甲在前三次摸球中没有摸到红球，算出甲在前三次摸球中，没有摸到红球的概率，根据对立事件的概率公式得到甲至少摸到一个红球的概率．
（3）甲摸到红球的次数为ξ，根据题意知ξ的可能取值为0，1，2，3，结合变量对应的事件写出变量的分布列，算出期望．
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查相互独立事件同时发生的概率，是一个综合题，解题时注意离散型随机变量对应的事件．
