Question

设α，β，γ 都是锐角，且sinα+sinβ+sinγ=1，证明
（1）sin²α+sin²β+sin²γ≥

1

3

；
（2）tan²α+tan²β+tan² γ≥

3

8

．

Answer 1

分析：（1）根据柯西不等式得：（sin²α+sin²β+sin²γ）（1+1+1）≥（1•sinα+1•sinβ+1•sinγ）²，结合题中条件即可证得；
（2）由恒等式tan²x=

1

cos2x

-1和重要结论：“若a，b，c＞0，则

1

a

+

1

b

+

1

c

≥

9

a+b+c

，”即可得出：得tan²α+tan²β+tan² γ=

1

cos2α

+

1

cos2β

+

1

cos2γ

-3≥

9

cos2α+cos2β+cos2γ

-3，再进行放缩即得．

解答：证明：（1）由柯西不等式得：（sin²α+sin²β+sin²γ）（1+1+1）≥（1•sinα+1•sinβ+1•sinγ）²，
因为sinα+sinβ+sinγ=1，所以3（sin²α+sin²β+sin²γ）≥1，得：sin²α+sin²β+sin²γ≥

1

3

．
（2）由恒等式tan²x=

1

cos2x

-1和若a，b，c＞0，则

1

a

+

1

b

+

1

c

≥

9

a+b+c

，
得tan²α+tan²β+tan² γ=

1

cos2α

+

1

cos2β

+

1

cos2γ

-3≥

9

cos2α+cos2β+cos2γ

-3．
于是

9

cos2α+cos2β+cos2γ

=

9

3-(sin2α+sin2β+sin2γ)

≥

9

3- 1 3

=

27

8

，
由此得tan²α+tan²β+tan² γ≥

27

8

-3=

3

8

．

点评：本小题主要考查一般形式的柯西不等式、三角函数的同角三角函数关系式、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．