Question

某市出租汽车的收费标准如下：在3km以内（含3km）的路程统一按起步价7元收费，超过3km以外的路程按2.4元/km收费．而出租汽车一次载客的运输成本包含以下三个部分：一是固定费用约为2.3元；二是燃油费，约为1.6元/km；三是折旧费，它与路程的平方近似成正比，且当路程为100km时，折旧费约为0.1元．现设一次载客的路程为xkm．
（Ⅰ）试将出租汽车一次载客的收费F与成本C分别表示为x的函数；
（Ⅱ）若一次载客的路程不少于2km，则当x取何值时，该市出租汽车一次载客每km的收益y（y=）取得最大值？

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据收费标准如下：在3km以内（含3km）的路程统一按起步价7元收费，超过3km以外的路程按2.4元/km收费，可得F关于x的函数；根据当路程为100km时，折旧费约为0.1元，求出比例系数，从而可得函数解析式；
（Ⅱ）根据y=，写出分段函数，分段确定函数的最值，从而可得结论．
解答：解：（Ⅰ）F（x）==
设折旧费z=kx²，将（100，0.1）代入，得0.1=100²k，解得k=
所以C（x）=2.3+1.6x+x²；
（Ⅱ）因为y=，所以y=
①当x＞3时，由基本不等式，得y≤0.8-2=0.79（当且仅当x=500时取等号）
②当2≤x≤3时，由y在[2，3]上单调递减，得y_max=0.75-＜0.79
答：该市出租汽车一次载客路程为500km时，每km的收益y取得最大值．
点评：本题考查的知识为分段函数的应用，考查利用基本不等式求最值，属于中档题．