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    （2012•茂名二模）已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1（-c，0）、F2（c，0），离心率为
    1
    2
    ，椭圆上的动点P到直线l：x=
    a2
    c
    的最小距离为2，延长F2P至Q使得|
    F2Q
    |=2a，线段F1Q上存在异于F1的点T满足
    PT
    •
    TF1
    =0    ．
    （1）求椭圆的方程；
    （2）求点T的轨迹C的方程；
    （3）求证：过直线l：x=
    a2
    c
    上任意一点必可以作两条直线与T的轨迹C相切，并且过两切点的直线经过定点．
    分析：（1）根据椭圆离心率为
    1
    2
    ，椭圆上的动点P到直线l：x=
    a2
    c
    的最小距离为2，建立方程组，即可求得椭圆的方程；
    （2）设点T的坐标，分类讨论：当P，T重合时，点T坐标为（2，0）和点（-2，0：当P，T不重合时，由
    PT
    •
    TF1
    =0    ，得
    PT
    ⊥
    TF1
    ，由|
    F2Q
    |=2a及椭圆的定义，可得PT为线段F1Q的垂直平分线，T为线段F1Q的中点，由此可求点T的轨迹C的方程；
    （3）设两条切线为ME，MF，则可得O，E，M，F四点都在以OM为直径的圆上，可求圆的方程，进而可得两圆的公共弦的方程，即可得到结论．
    解答：（1）解：依题意，∵椭圆离心率为
    1
    2
    ，椭圆上的动点P到直线l：x=
    a2
    c
    的最小距离为2，
    ∴
    c
    a
    =
    1
    2
    a2
    c
    -a=2
    ，…（2分）
    ∴
    c=1
    a=2
    ，∴b2=a2-c2=3 …（3分）
    ∴椭圆的方程为
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1       …（4分）
    （2）解：设点T的坐标为（x，y）．
    当P，T重合时，点T坐标为（2，0）和点（-2，0），…（5分）
    当P，T不重合时，由
    PT
    •
    TF1
    =0    ，得
    PT
    ⊥
    TF1
    ．…（6分）
    由|
    F2Q
    |=2a及椭圆的定义，|
    PQ
    |=|
    QF2
    |-|
    PF2
    |=2a-|
    PF2
    |=|
    PF1
    |，…（7分）
    所以PT为线段F1Q的垂直平分线，T为线段F1Q的中点
    在△QF1F2中，
    OT
    =
    1
    2
    |
    F2Q
    |=a=2，…（8分）
    所以有x2+y2=4．
    综上所述，点T的轨迹C的方程是x2+y2=4．…（9分）
    （3）证明：直线l：x=
    a2
    c
    与x2+y2=4相离，过直线上任意一点M（4，t）可作圆x2+y2=4③的两条切线ME，MF  …（10分）
    所以OE⊥ME，OF⊥MF，所以O，E，M，F四点都在以OM为直径的圆上，…（11分）
    其方程(x-2)2+(y-
    t
    2
    )2=4+(
    t
    2
    )2    ④…（12分）
    EF为两圆的公共弦，③-④得：EF的方程为4x+ty-4=0       …（13分）
    显然无论t为何值，直线EF经过定点（1，0）．…（14分）
    点评：本题主要考查椭圆的标准方程，考查平面向量知识，考查圆的方程，考查运算求解能力及创新意识，属于中档题．
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    3
    		2
    2
    +1
    3
    		2
    2
    +1
    ．

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    		3
    sin
    x
    3
    cos
    x
    3
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    x
    3
    ．
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    x
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    c
    a
    ＜
    c
    b
    （a＞b＞c＞0）；③
    a+m
    b+m
    ＞
    a
    b
    （a，b，m＞0，a＜b）．

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