Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F₂（2，0），设A、B是双曲线上关于原点对称的两点，AF₂、BF₂的中点分别为M、N，已知以MN为直径的圆经过原点，且直线AB的斜率为

3 7

7

，则双曲线的离心率为（　　）

• A、

  3

• B、

  5

• C、2
• D、2

  2

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设A（x₁，y₁），则B（-x₁，-y₁），由中点坐标公式求出M、N坐标关于x₁、y₁的表达式．根据直径所对的圆周角为直角，得

OM

=

1

4

（4-x12）-

1

4

y12=0．再由点A在双曲线上且直线AB的斜率为

3 7

7

，得到关于x₁、y₁、a、b的方程组，联解消去x₁、y₁得到关于a、b的等式，结合b²+a²=c²=4解出a=1，可得离心率e的值．

解答： 解：根据题意，设A（x₁，y₁），则B（-x₁，-y₁），
∵AF₂的中点为M，BF₂的中点为N，
∴M（

1

2

（x₁+2），

1

2

y₁），N（

1

2

（-x₁+2），-

1

2

y₁）．
∵原点O在以线段MN为直径的圆上，
∴∠NOM=90°，可得

OM

=

1

4

（4-x12）-

1

4

y12=0．…①
又∵点A在双曲线上，且直线AB的斜率为

3 7

7

，∴

x12 a2 - y12 b2 =1 y1= 3 7 7 x1

，…②．
由①②联解消去x₁、y₁，得

1

a2

-

9 7

b2

=

4

7

，…③
又∵F₂（2，0）是双曲线的右焦点，可得b²=c²-a²=4-a²，
∴代入③，化简整理得a⁴-8a²+7=0，解之得a²=1或7，
由于a²＜c²=4，所以a²=7不合题意，舍去．
故a²=1，得a=1，离心率e=

c

a

=2．
故选：C．

点评：本题给出双曲线满足的条件，求它的离心率，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．熟练掌握双曲线的标准方程及其性质、参数a、b、c的关系、中点坐标公式，是解决本题的关键．