Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点F₁，F₂在x轴上，离心率e=

2

2

，且经过点M(

2

，  1)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l经过椭圆C的右焦点F₂，且与椭圆C交于A，B两点，使得|F₁A|，|AB|，|BF₁|依次成等差数列，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）先设椭圆C的方程根据离心率和点M求得a和b，进而可得答案．
（2）设直线l的方程为y=k(x-

2

 )，代入（1）中所求的椭圆C的方程，消去y，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），进而可得到x₁+x₂和x₁•x₂的表达式，根据F₁A|+|BF₁|=2|AB|求得k，再判断直线l⊥x轴时，直线方程不符合题意．最后可得答案．

解答：解：（1）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，（其中a＞b＞0）
由题意得e=

c

a

=

2

2

，且

2

a2

+

1

b2

=1，解得a²=4，b²=2，c²=2，
所以椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

2

=1．
（2）设直线l的方程为y=k(x-

2

 )，代入椭圆C的方程

x2

4

+

y2

2

=1，
化简得(2+4k2)x2-8

2

k2x+8k2-8=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

8 2 k2

2+4k2

，x1•x2=

8k2-8

2+4k2

，
由于|F₁A|，|AB|，|BF₁|依次成等差数列，则|F₁A|+|BF₁|=2|AB|．
而|F₁A|+|AB|+|BF₁|=4a=8，所以|AB|=

8

3

.|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

4 1+k2

1+2k2

=

4(1+k2)

1+2k2

=

8

3

，解得k=±1；
当直线l⊥x轴时，x=

2

，代入得y=±1，|AB|=2，不合题意．
所以，直线l的方程为y=±(x-

2

)．

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与其他曲线的关系．要求学生综合掌握如直线、椭圆、抛物线等圆锥曲线的基本性质．