Question

如图，棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=.

（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）求二面角P—CD—B的大小；

（Ⅲ）求点C到平面PBD的距离.

Answer 1

（1）证明见解析（2）45⁰（3）

解析:

方法一：

证：（Ⅰ）在Rt△BAD中，AD=2，BD=，

∴AB=2，ABCD为正方形，

因此BD⊥AC.                    

∵PA⊥平面ABCD，BD??平面ABCD，

∴BD⊥PA .                      

又∵PA∩AC=A

∴BD⊥平面PAC.                 

解：（Ⅱ）由PA⊥面ABCD，知AD为PD在平面ABCD的射影，又CD⊥AD，

∴CD⊥PD，知∠PDA为二面角P—CD—B的平面角.                      

又∵PA=AD，

∴∠PDA=45⁰ .                                                       

（Ⅲ）∵PA=AB=AD=2

∴PB=PD=BD= 

设C到面PBD的距离为d，由，

有，                              

即，

得          

方法二：

证：（Ⅰ）建立如图所示的直角坐标系，

则A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）.

在Rt△BAD中，AD=2，BD=，

∴AB=2.

∴B（2，0，0）、C（2，2，0），

∴  

∵

即BD⊥AP，BD⊥AC，又AP∩AC=A，

∴BD⊥平面PAC.                       

解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得.

设平面PCD的法向量为，则，

即，∴

故平面PCD的法向量可取为                              

∵PA⊥平面ABCD，∴为平面ABCD的法向量.             

设二面角P—CD—B的大小为q，依题意可得，

∴q = 45⁰ .                                                      

（Ⅲ）由（Ⅰ）得

设平面PBD的法向量为，则，

即，∴x=y=z

故平面PBD的法向量可取为.                             

∵，

∴C到面PBD的距离为