Question

如图：长为3的线段PQ与边长为2的正方形ABCD垂直相交于其中心O（PO＞OQ）．
（1）若二面角P-AB-Q的正切值为-3，试确定O在线段PQ的位置；
（2）在（1）的前提下，以P，A，B，C，D，Q为顶点的几何体PABCDQ是否存在内切球？若存在，试确定其内切球心的具体位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）取线段AB的中点为点E，连接PE，OE，可以证明，∠PEQ为二面角P-AB-Q的平面角，且tan∠PEQ=-3．将∠PEQ 看作∠PEQ与∠QEO之和．设OP=x，利用两角和的正切公式，建立关于x的方程并解出即可．
（2）若设线段CD的中点为点F，由对称性可知：平面四边形PEQF的内切圆的圆心为O′，半径即为r，利用分割面积法可以求出r的值，O′在PQ上．在四边形PEQF中利用平面几何知识确定出内切球心的具体位置．

解答：解：（1）取线段AB的中点为点E，
连接PE，OE，QE．由于四边形ABCD是正方形，O为其中心，所以OE⊥AB，
又PO⊥面ABCD AB?面ABCD，所以PO⊥AB，
而 OE∩AB=O，所以AB⊥面PEO，PE?面PEO，所以AB⊥PE，
同理可以证出AB⊥QE，∴∠PEQ为二面角P-AB-Q的平面角，tan∠PEQ=-3．
设∠PEQ=α，∠QEO=β，OP=x，则OQ=3-x．且OE=1
在RT△PEO中，tanα=

OP

OE

=x，
同理在RT△QEO中，tanβ=

OQ

OE

=3-x
由tan∠PEQ=tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

3

1-x(3-x)

=-3，
得：x²-3x+2=0
∵PO＞OQ∴OP=x=2
故O在线段PQ上的靠近Q点的三分点位置；
（2）几何体PABCDQ存在内切球，令球心为O^′，
若设线段CD的中点为点F，内切球的半径为r，由对称性可知：平面四边形PEQF的内切圆的圆心为O′，半径即为r，
故S_PEQF=

1

2

EF•PQ=

1

2

r（2PE+2QE），而PE=

PO2+OE2

=

5

，QE=

QO2+OE2

=

2

．
所以

1

2

×2×3=

1

2

r（2

5

+2

2

），得r=

5

-

2

．
由三角形相似有：

r

PO′

=sin∠EPO=

OE

PE

=

1

5

=

5

5

所以PO′=

5

r=5-

10

．故其内切球心O′在点P距离为5-

10

 的位置上．
（注：也可用分割体积法求r）

点评：本题考查了二面角的定义，度量，方程思想．还考查了组合体的几何性质，面积（体积）分割的思想．本题中的几何体实际上是由两个同底不等高的正四棱锥组合而成．