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函数f(x)对任意的m、n∈R都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,并且当x>0时,f(x)>1.

(1)求证:f(x)在R上是增函数;

(2)若f(3)=4,解不等式f(a2+a-5)<2.

(1)证明:设x1、x2∈R,且x1<x2,

则x2-x1>0.

∴f(x2-x1)>1.而

f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1>0,

∴f(x)是增函数.

(2)解析:f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)-1=f(1+1)+f(1)-1=f(1)+f(1)-1+f(1)-1,

3f(1)-2=4,

∴f(1)=2.

∴不等式即f(a2+a-5)<f(1).

∵f(x)是增函数,

∴a2+a-5<1.

解得-3<a<2.


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