Question

19．给出下列等式：
$\sqrt{2}$=2cos$\frac{π}{4}$，
$\sqrt{2+\sqrt{2}}$=2cos$\frac{π}{8}$，
$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}$=2cos$\frac{π}{16}$
…
请从中归纳出第n（n∈N*）个等式：$\sqrt{2+…+\sqrt{2+\sqrt{2}}}$=2cos$\frac{π}{{2}^{n+1}}$．

Answer 1

分析 通过已知的三个等式，找出规律，归纳出第n个等式即可．

解答 解：因为$\sqrt{2}$=2cos$\frac{π}{4}$，
$\sqrt{2+\sqrt{2}}$=2cos$\frac{π}{8}$，
$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}$=2cos$\frac{π}{16}$
…，
等式的右边系数是2，角是等比数列，公比为$\frac{1}{2}$角的余弦值，角满足：$\frac{π}{{2}^{n+1}}$，
所以$\sqrt{2+…+\sqrt{2+\sqrt{2}}}$=2cos$\frac{π}{{2}^{n+1}}$．
故答案为：2cos$\frac{π}{{2}^{n+1}}$．

点评 本题考查归纳推理，注意已知表达式的特征是解题的关键．