Question

已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y²=2x上，其中O为坐标原点，设圆C是OAB的内接圆（点C为圆心）
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）设圆M的方程为（x-4-7cosθ）²+（y-7cosθ）²=1，过圆M上任意一点P分别作圆C的两条切线PE，PF，切点为E，F，求

CE

•

CF

的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出A、B的坐标（正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y²=2x上），根据△ABO边长相等，求出A、B点的坐标，再求圆心和半径，进而求可得圆C的方程；
（Ⅱ）设出∠ECF=2α，表示出数量积，数量积中有cosα，cosα=

x

|PC|

=

4

|PC|

，确定|PC|的范围，可求出数量积的最值．

解答：解：（Ⅰ）解法一：设A，B两点坐标分别为(

y 2 1

2

，y1)，(

y 2 2

2

，y2)，
由题设知

( y 2 1 2 )2+ y 2 2

=

( y12 2 )2+ y 2 2

=

( y 2 1 2 - y 2 2 2 )2+(y1-y2)2

解得y₁²=y₂²=12，
所以A(6，2

3

)，B(6，-2

3

)或A(6，-2

3

)，B(6，2

3

)．
设圆心C的坐标为（r，0），则r=

2

3

×6=4，
所以圆C的方程为（x-4）²+y²=16．
解法二：设A，B两点坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），由题设知x₁²+y₁²=x₂²+y₂²
又因为y₁²=2x₁，y₂²=2x₂，可得x₁²+2x₁=x₂²+2x₂．即（x₁-x₂）（x₁+x₂+2）=0
由x₁＞0，x₂＞0，可知x₁=x₂，故A，B两点关于x轴对称，所以圆心C在x轴上
设C点的坐标为（r，0），则A点坐标为(

3

4

r，

3

2

r)，于是有(

3

2

r)2=2×

3

2

r，
解得r=4，
所以圆C的方程为（x-4）²+y²=16．
（Ⅱ）解：设∠ECF=2α，则

CE

•

CF

=|

CE

|•|

CF

|•cos2α=16cos2α=32cos2α-16．
在Rt△PCE中，cosα=

x

|PC|

=

4

|PC|

，由圆的几何性质得|PC|≤|MC|+1=7+1=8，|PC|≥|MC|-1=7-1=6，
所以

1

2

≤cosα≤

2

3

，由此可得-8≤

CE

•

CF

≤-

16

9

．
则

CE

•

CF

的最大值为-

16

9

，最小值为-8．

点评：本小题主要考查平面向量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．