Question

设函数，其中向量，．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间．
（Ⅱ）当时，-4＜f（x）＜4恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）函数=2cos²x+=cos2x++1=2sin（2x+）+m+1．
故函数f（x）的最小正周期为=π．
令 2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，可得 kπ-≤x≤kπ+，k∈z，故增区间为[kπ-，kπ+]，k∈z．
故在[0，π]上的单调递增区间为[0，]、[，π]．
（Ⅱ）当时，≤2x+≤，故有 ≤sin（2x+）≤1，故 m+2≤f（x）≤m+3．
再由-4＜f（x）＜4恒成立，可得 m+2＞-4且 m+3＜4，解得-6＜m＜1，
故实数m的取值范围为（-6，1）．
分析：（Ⅰ）滑进函数f（x）的解析式为 2sin（2x+）+m+1，由此求得周期，令2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，求出函数的单调增区间，即可得到在[0，π]上的单调递增区间．
（Ⅱ）当时，求得m+2≤f（x）≤m+3，再由-4＜f（x）＜4恒成立，可得 m+2＞-4且 m+3＜4，由此求得实数m的取值范围．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，三角函数的周期性及其求法，复合三角函数的单调性，函数的恒成立问题，属于中档题．