Question

已知四点O（0，0），F(0，

1

2

)，M（0，1），N（0，2）．点P（x₀，y₀）在抛物线x²=2y上
（Ⅰ）当x₀=3时，延长PN交抛物线于另一点Q，求∠POQ的大小；
（Ⅱ）当点P（x₀，y₀）（x₀≠0）在抛物线x²=2y上运动时，
ⅰ）以MP为直径作圆，求该圆截直线y=

1

2

所得的弦长；
ⅱ）过点P作x轴的垂线交x轴于点A，过点P作该抛物线的切线l交x轴于点B．问：是否总有∠FPB=∠BPA？如果有，请给予证明；如果没有，请举出反例．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当x₀=3时，y0=

9

2

，P(3，

9

2

)，kPN=

5

6

，把直线PN：y=

5

6

x+2代入x²=2y，得x2-

5

3

x-4=0，由此入手能求出∠POQ=90°．
（Ⅱ）ⅰ）以MP为直径的圆的圆心为(

x0

2

，

1

2

y0+

1

2

)，|MP|=

x 2 0 +(y0-1)2

=

2y0+(y0-1)2

=

y02+1

，
所以圆的半径r=

1

2

y02+1

，圆心到直线y=

1

2

的距离d=|

1

2

y0+

1

2

-

1

2

|=|

1

2

y0|，由此能求出截得的弦长．
（Ⅱ）总有∠FPB=∠BPA．证明：y=

x2

2

，y'=x，kl=y′|x=x0=x0，所以切线l的方程为y=x0x-

x 2 0

2

，令y=0，得x=

x0

2

，所以点B的坐标为B(

x0

2

，0)，点B到直线PA的距离为d1=

|x0|

2

，再求出直线PF的方程（x₀²-1）x-2x₀y+x₀=0，
所以点B到直线PF的距离为d2=

|( x 2 0 -1) x0 2 +x0|

( x 2 0 -1)2+(2x0)2

=

|( x 2 0 +1) x0 2 |

( x 2 0 +1)2

=

|x0|

2

，由此知∠FPB=∠BPA．

解答：解：（Ⅰ）当x₀=3时，y0=

9

2

，P(3，

9

2

)，kPN=

5

6

直线PN：y=

5

6

x+2代入x²=2y，得x2-

5

3

x-4=0，x=-

4

3

，3，
所以Q(-

4

3

，

8

9

)，

OP

•

OQ

=3×(-

4

3

)+

9

2

×

8

9

=0，
所以∠POQ=90°（5分）
（Ⅱ）ⅰ）以MP为直径的圆的圆心为(

x0

2

，

1

2

y0+

1

2

)，|MP|=

x 2 0 +(y0-1)2

=

2y0+(y0-1)2

=

y02+1

，
所以圆的半径r=

1

2

y02+1

，
圆心到直线y=

1

2

的距离d=|

1

2

y0+

1

2

-

1

2

|=|

1

2

y0|；
故截得的弦长l=2

r2-d2

=2

1 4 y 2 0 + 1 4 - 1 4 y 2 0

=1（10分）
（Ⅱ）总有∠FPB=∠BPA．（11分）
证明：y=

x2

2

，y'=x，kl=y′|x=x0=x0，
所以切线l的方程为y-

x 2 0

2

=x0(x-x0)，即y=x0x-

x 2 0

2

令y=0，得x=

x0

2

，所以点B的坐标为B(

x0

2

，0)（12分）
点B到直线PA的距离为d1=

|x0|

2

，
下面求直线PF的方程
因为F(0，

1

2

)，所以直线PF的方程为y-

1

2

=

x 2 0 2 - 1 2

x0

(x-0)，
整理得（x₀²-1）x-2x₀y+x₀=0
所以点B到直线PF的距离为d2=

|( x 2 0 -1) x0 2 +x0|

( x 2 0 -1)2+(2x0)2

=

|( x 2 0 +1) x0 2 |

( x 2 0 +1)2

=

|x0|

2

，
所以d₁=d₂
所以∠FPB=∠BPA（15分）

点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，注意公式的合理运用．