Question

如图，一粒子在原点，第一秒内从原点运动到点（0，1），然后按照图示的方向由（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→（2，0）→…来回运动，每秒移动一个单位，那么粒子运动到点（3，0）时用时m秒，经过2007秒时这个粒子所处的位置为点P．则m、P分别为（　　）

A．15；（37，44）

B．15；（17，44）

C．15；（44，17）

D．17；（44，27）

Answer 1

分析：分析粒子在第一象限的运动规律得到数列{a_n}通项的递推关系式a_n-a_n-1=2n是本题的突破口，对运动规律的探索知：A₁，A₂，…，A_n中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动是解题的关键．

解答：解：由题意知当粒子运动到点（3，0）时，移动的距离为1×2+2×2+3×3=15，所以此时用时m=15秒．
设粒子运动到A₁，A₂，…，A_n时所用的间分别为a₁，a₂，…，a_n，则a₁=2，a₂=6，a₃=12，a₄=20，…，a_n-a_n-1=2n，
将a₂-a₁=2×2，a₃-a₂=2×3，a₄-a₃=2×4，…，a_n-a_n-1=2n相加得：
a_n-a₁=2（2+3+4+…+n）=n²+n-2，∴a_n=n（n+1）．
44×45=1980，故运动了1980秒时它到点A₄₄（44，44）；
又由运动规律知：A₁，A₂，…，A_n中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动．
故达到A₄₄（44，44）时向左运动27秒到达点（17，44），即运动了2007秒．
所求点应为（17，44）．
故选B．

点评：本题主要考查数列的应用，综合性较强，难度较大．通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．