Question

（2009•荆州模拟）已知F₁、F₂为椭圆C：

x2

m+1

+

y2

m

=1的两个焦点，P为椭圆上的动点，则△F₁PF₂面积的最大值为2，则椭圆的离心率e为（　　）

• A．

  2

  3

• B．

  3

  4

• C．

  5

  5

• D．

  7

  10

Answer 1

分析：由题意得c=1，根据椭圆的性质得当点P落在短轴的端点时，△PF₁F₂的面积最大，结合题意解出b=2，再用平方关系算出a的值．最后根据椭圆离心率公式，即可算出本题的答案．

解答：解：∵椭圆C：

x2

m+1

+

y2

m

=1，
∴椭圆的a=

m+1

，b=

m

，焦距2c=|F₁F₂|=2．
∵P在椭圆上，△PF₁F₂的面积最大值为12，
∴当点P落在短轴的端点时，△PF₁F₂的面积S=

1

2

×|F₁F₂|×b=2
得b=2，所以

m

=2，m=4，
∴a=

5

，
因此，该椭圆的离心率是e=

c

a

=

1

5

=

5

5

故选C．

点评：本题给出椭圆的焦距和焦点三角形面积的最大值，求椭圆的离心率．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．