精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
(1)已知矩阵M=
0
1
1
0
N=
0
1
-1
0
.在平面直角坐标系中,设直线2x-y+1=0在矩阵MN对应的变换作用下得到的曲线F,求曲线F的方程.
(2)在极坐标系中,已知圆C的圆心坐标为C (2,
π
3
),半径R=
5
,求圆C的极坐标方程.
(3)已知a,b为正数,求证:
1
a
+
4
b
9
a+b
分析:(1)利用矩阵的乘法法则求出MN,设出已知直线的一点坐标(x,y),求出这点在矩阵MN对应变换下的坐标(x',y')与设出坐标
(x,y)的关系,分别求出x和y,代入已知直线方程即可得到曲线F的方程;
(2)将圆心极坐标化为普通坐标,根据半径写出圆的标准方程,然后令x等于ρcosθ,y等于ρsinθ,代入化简即可得到圆C的极坐标方程;(3)由a与b都为正数,给不等式的左边乘以(a+b),去括号化简后,利用基本不等式求出最小值,然后把不等式变形即可得证.
解答:解:(1)由题设得MN=
01
10
0-1
10
=
1
0
0
-1

设(x,y)是直线2x-y+1=0上任意一点,
点(x,y)在矩阵MN对应的变换作用下变为(x',y'),
则有
10
0-1
x
y
=
x′
y′
,即
x
-y
=
x′
y′
,所以
x=x′
y=-y′

因为点(x,y)在直线2x-y+1=0上,从而2x'-(-y')+1=0,即:2x'+y'+1=0
所以曲线F的方程为2x+y+1=0;
(2)将圆心C(2,
π
3
)化成直角坐标为(1,
3
),半径R=
5

故圆C的方程为(x-1)2+(y-
3
2=5.
再将C化成极坐标方程,得(ρcosθ-1)2+(ρcosθ-
3
2=5.
化简,得ρ2-4ρcos(θ-
π
3
)+1=0,此即为所求的圆C的方程;
(3)证明:∵a>0,b>0,所以(a+b)(
1
a
+
4
b
)=5+
b
a
+
4a
b
≥5+2
b
a
×
4a
b
=9

1
a
+
4
b
9
a+b
点评:此题考查学生会求一点在矩阵变换下的坐标,会根据条件求圆的极坐标方程,灵活运用基本不等式化简求值,是一道综合题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

(1)已知矩阵M=
2a
21
,其中a∈R,若点P(1,-2)在矩阵M的变换下得到点P'(-4,0)
(i)求实数a的值;
(ii)求矩阵M的特征值及其对应的特征向量.
(2)在平面直角坐标系xOy中,动圆x2+y2-8xcosθ-6ysinθ+7cos2θ+8=0(a∈R)的圆心为P(x0,y0),求2x0-y0的取值范围.
(3)已知a,b,c为实数,且a+b+c+2-2m=0,a2+
1
4
b2+
1
9
c2
+m-1=0.
①求证:a2+
1
4
b2+
1
9
c2
(a+b+c)2
14

②求实数m的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

本题有(1)、(2)、(3)三个选答题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分
(1)已知矩阵M=
12
21
,β=
1
7
,(Ⅰ)求M-1;(Ⅱ)求矩阵M的特征值和对应的特征向量;(Ⅲ)计算M100β.
(2)曲线C的极坐标方程是ρ=1+cosθ,点A的极坐标是(2,0),求曲线C在它所在的平面内绕点A旋转一周而形成的图形的周长.
(3)已知a>0,求证:
a2+
1
a2
-
2
≥a+
1
a
-2

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2011年福建省泉州市石狮市石光华侨联合中学高考数学冲刺模拟试卷3(理科)(解析版) 题型:解答题

本题有(1)、(2)、(3)三个选答题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分
(1)已知矩阵M=,(Ⅰ)求M-1;(Ⅱ)求矩阵M的特征值和对应的特征向量;(Ⅲ)计算M100β.
(2)曲线C的极坐标方程是ρ=1+cosθ,点A的极坐标是(2,0),求曲线C在它所在的平面内绕点A旋转一周而形成的图形的周长.
(3)已知a>0,求证:

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2009年福建省高考数学试卷(理科)(解析版) 题型:解答题

(1)已知矩阵M所对应的线性变换把点A(x,y)变成点A′(13,5),试求M的逆矩阵及点A的坐标.
(2)已知直线l:3x+4y-12=0与圆C:(θ为参数 )试判断他们的公共点个数;
(3)解不等式|2x-1|<|x|+1.

查看答案和解析>>

同步练习册答案