Question

如图所示是一个几何体的直观图及它的三视图（其中主视图为直角梯形，俯视图为正方形，左视图为直角三角形，尺寸如图所示）．

（Ⅰ）求四棱锥P-ABCD的体积；
（Ⅱ）求二面角E-PC-D的大小．

Answer 1

解：（Ⅰ）由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，（1分）
PA⊥面ABCD，PA∥EB，且PA=4，BE=2，AB=AD=CD=CB=4，（3分）
∴V_P-ABCD=PA•S_ABCD=×4×4×4=．（4分）
（Ⅱ）由三视图可知，BE⊥BC，BE⊥BA，以B为原点，以BC，BA，BE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），P（），D（4，4，0）C（0，4，0）．（5分）
所以．设平面PCD的法向量为=（x，y，z），即，取．（8分）
设平面PCE的法向量为，同理可求．（10分）．所以二面角E-PC-D的大小为π-arccos（）．（12分）
分析：（Ⅰ）由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，求出底面面积和高，即可求出几何体的体积．
（Ⅱ）由三视图可知，BE⊥BC，BE⊥BA，以B为原点，以BC，BA，BE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
求出平面PCD的法向量为=（x，y，z），平面PCE的法向量为，利用，求出二面角E-PC-D的大小．
点评：本题是中档题，考查三视图的知识，几何体的体积的求法，二面角的求法，考查计算能力，转化思想，空间想象能力的应用．