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已知数学公式,且f(2)=1.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)若在数列{an}中,a1=1,数学公式,计算a2,a3,a4,并由此猜想通项公式an
(Ⅲ)证明(Ⅱ)中的猜想.

解:(Ⅰ)因为,f(2)=1,
所以=1,解得 a=2. …(2分)
(Ⅱ)在{an}中,因为a1=1,
所以
所以猜想{an}的通项公式为.…(6分)
(Ⅲ)证明:因为a1=1,
所以,即
所以是以为首项,公差为的等差数列.
所以,所以通项公式.…(9分)
分析:(Ⅰ)因为,f(2)=1,可得=1,由此解得a的值.
(Ⅱ)根据在{an}中,a1=1,,令n=1、2、3,即可求得a2,a3,a4的值,由此猜想通项公式an
(Ⅲ)由题意可得,即,根据等差数列的通项公式求出的通项公式,即可得到{an}的通项公式.
点评:本题主要考查用待定系数法求函数的解析式,不完全归纳法的应用,用综合法证明等式,式子的变形是解题的关键,属于中档题.
练习册系列答案
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已知,且f(2)=1.
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(Ⅲ)定义对于(Ⅱ)中的数列{an},令设Sn为数列{bn}的前n项和,求证:Sn>ln(n+1).

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