Question

8．双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的焦点为F₁，F₂，点P为双曲线上一点，且PF₂⊥F₁F₂，∠PF₁F₂=$\frac{π}{6}$．
（1）求双曲线的离心率；
（2）求双曲线的渐近线方程．

Answer 1

分析 （1）根据点P为双曲线上一点，且PF₂⊥F₁F₂，∠PF₁F₂=$\frac{π}{6}$，可得|PF₁|=$\sqrt{3}$c，|PF₂|=c，利用双曲线的定义，可求双曲线的离心率．
（2）由（1）可得b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{3+2\sqrt{3}}$a，即可求双曲线的渐近线方程．

解答 解：（1）设双曲线的焦距长为2c
∵点P为双曲线上一点，且PF₂⊥F₁F₂，∠PF₁F₂=$\frac{π}{6}$，
∴|PF₁|=$\sqrt{3}$c，|PF₂|=c
∴|PF₁|-|PF₂|=（$\sqrt{3}$-1）c=2a
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$=$\sqrt{3}$+1；
（2）c=（$\sqrt{3}$+1）a，b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{3+2\sqrt{3}}$a，
∴双曲线的渐近线方程y=±$\sqrt{3+2\sqrt{3}}$x．

点评 本题考查双曲线的定义与性质，解题的关键是确定|PF₁|=$\sqrt{3}$c，|PF₂|=c．