Question

某幼儿园准备建一个转盘，转盘的外围是一个周长k米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连，经预算，转盘上的每个座位与支点相连钢管的费用为3k元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为[2+

(128 x +20)x

25

]k元，假设座位等距离分布，且至少有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记转盘的总造价为y元．
（1）试写出y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（2）当k=50米时，试确定座位的个数，使得总造价最低．

Answer 1

分析：（1）由题意，总造价y中包括座位和圆心处的支点间的钢管的费用，相邻座位之间的钢管与座位的费用，故只需算出座位的个数即知钢管的个数，将两项费用表示出来，相加即得y关于x的函数关系式；
（2）将k=50米代入函数关系式，利用导数研究函数的单调性，求出最值即得最低的总造价．

解答：解：（1）设转盘上总共有n个座位，则x=

k

n

，即n=

k

x

，
∴y=

3k2

x

+

k2

x

[2+

(128 x +20)x

25

]，定义域为{x|0＜x≤

k

2

，

k

x

∈Z}．
故y关于x的函数关系式是y=

3k2

x

+

k2

x

[2+

(128 x +20)x

25

]，定义域{x|0＜x≤

k

2

，

k

x

∈Z}．（6分）
（2）令y=f（x）=k²（

5

x

+

128 x +20

25

），
则f′（x）=

-125+64x 3 2

25x2

k2=0，
当k=50时，∴x=

25

16

，（10分）
当x∈（0，

25

16

）时，f′（x）＜0，即f（x）在x∈（0，

25

16

）上单调减，
当x∈（

25

16

，25）时，f′（x）＞0，即f（x）在x∈（

25

16

，25）上单调增，
y_min在x=

25

16

时取到，此时座位个数为

50

25 16

=32个．（15分）
答：当座位的个数为32时，使得总造价最低．

点评：本题是常见的利用导数解决现实中造价最优的一个应用题，审题与构造函数是重点，在求最值时要根据函数的形式选择合适的方法．